Brouwer - het construeren van een nieuwe wiskunde

Luitzen Egbertus Jan Brouwer wordt geboren op 27 februari 1881 in Overschie. Nadat hij al op veertienjarige leeftijd de middelbare school afrondt, gaat hij twee jaar lang Grieks en Latijn leren om uiteindelijk op zestienjarige leeftijd Wiskunde en Natuurkunde te gaan studeren in Amsterdam. In 1907 promoveert hij met het proefschrift Over de grondslagen van de Wiskunde. Dit is de eerste omvangrijke uiteenzetting van de grondslagen van de wiskunde, geschreven vanuit intuïtionistisch standpunt.

Intuïtionisme en formalisme
De begrippen intuïtionisme en formalisme vereisen wellicht enige toelichting. Het formalisme eist van de wiskunde consistentie ('het vrij zijn van innerlijke tegenspraak' - Van Dale), het intuïtionisme eist construeerbaarheid ('alle wiskundige begrippen dienen door de mens in een gedachtenproces geconstrueerd te kunnen worden' - J.H.). Bij het formalisme zijn bewijzen uit het ongerijmde mogelijk. Als niet φ een tegenstrijdigheid oplevert, dan is niet niet φ = φ dus waar. Met andere woorden: als je kunt bewijzen dat het tegenovergestelde niet waar is, dan is het geval zelf wel waar.
Bij het intuïtionisme kan dit zo niet gesteld worden. Als niet φ een tegenstelling geeft, zegt dit niets over de construeerbaarheid van φ. Hoe kun je dan stellen dat φ waar is? Bij het intuïtionisme bestaan overaftelbare verzamelingen en het keuze-axioma niet. Brouwer is aanhanger van het intuïtionisme, Hilbert van het formalisme.

Wonen en werken
Brouwer trouwt met Lize de Holl. Ze wonen een tijd boven een apotheek in Amsterdam waar Lize werkt. Later verhuizen ze naar een 'hut' in Blaricum. Hier is Brouwer helemaal op zijn plaats. Hij schrijft in een brief aan zijn vriend Scheltema (3 december 1909):

"Ik ben niet lang in Amsterdam blijven wonen, het fatsoenlijk mens-zijn beklemt me, en na mijn colleges vlucht ik het Gooi in en loop weer heerlijk verschooierd over de hei. Dat gaat zo heel best, als ik maar niet te eniger tijd het ongeluk heb, hier in mijn landloperstenue een leerling tegen te komen. Op de colleges ben ik altijd door een ringetje te halen. Van mijn vak ga ik hoe langer hoe meer houden, maar van de maatschappij krijg ik hoe langer hoe groter afschuw."

Het komt voor dat Lize

Zuiver De wiskunde is een zuiver geestelijke activiteit van de mens. Luitzen Egbertus Jan Brouwer

in Amsterdam verblijft, terwijl Bertus in Blaricum werkt. Van tijd tot tijd gebeurt het dan dat Lize aan de Gooise stoomstram een pannetje eten meegeeft voor haar man. Brouwer haalt het dan op bij de halte in de buurt van zijn huis.

Intuïtionistische wiskunde
Van 1912 tot aan zijn emeritaat in 1951 is Brouwer professor in de Verzamelingenleer, Functietheorie en de Axiomatiek. Zijn hoofdinteresse is het uitwerken en samenstellen van de intuïtionistische wiskunde. Hij zet zich er tijdens zijn leven voor in om de intuïtionistische denkwijze te verspreiden binnen de wiskunde en probeert anderen ervan te overtuigen dat bewijzen met behulp van de 'uitgesloten derde' geen algemeen geldige bewijzen zijn.

Door kritisch te kijken naar de wiskunde op dat moment, bouwt Brouwer zijn vak van de grond af aan opnieuw op. Uitgangspunt voor hem is dat de wiskunde een 'zuiver geestelijke activiteit van de mens' is en bovendien 'van ervaring onafhankelijk en van haar begeleidende tekst strikt te scheiden'. Taal is dus enkel een middel om het gedachtegoed van de wiskunde in kaart te brengen en dit te kunnen communiceren.

Brouwer is overleden in 1966. Zijn graf zou onlangs opgeruimd worden. Het Wiskundig Genootschap heeft dit net op tijd voorkomen. In september 2007 verschijnt er een postzegel ter ere van Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

De intuïtionistische principes hebben een nieuwe toepassing in de informatica gevonden. Daarin is het immers belangrijk, dat alles echt geconstrueerd (berekend) kan worden.

Er is internationaal erkenning voor zijn aanpak, maar door de meeste wiskundigen is zijn visie toch afgewezen.

Literatuur

1. Dalen, D. van, L.E.J. Brouwer en de grondslagen van de wiskunde. Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2001
2. Dalen, D. van, L.E.J. Brouwer. Een biografie. Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam, 2001.
3. Gottwald, S. e.a. Lexikon bedeutender Mathematiker. Bibliographisches Institut Leipzig, Leipzig, 1990.
4. Rootselaar, B. van Brouwer. In: Dictionary of Scientific Biography. Scribner, New York, 1970-1990.
5. Struik, D.J. Geschiedenis van de Wiskunde. Het Spectrum, Utrecht, ⁵2004.

Terug naar overzicht

Niet overnemen zonder overleg.